لطفا منتظر باشید ...
اعداد فيبوناتچي و طبيعت
اين مقاله شامل دو بخش است.
در بخش اول دنباله ي فيبوناتچي را معرفي مي كنيم و در بخش دوم كاربرد اين دنباله و نسبت طلايي را در طبيعت ارائه مي دهيم.
بخش اول عبارت است از:
الف) خرگوش هاي فيبوناتچي
ب) زنبورهاي عسل ونمودار درختي
ج) اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي
د) مستطيل هاي فيبوناتچي و مارپيچ ها
بخش دوم عبارت است از:
ه) اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي در گياهان
و) اعداد فيبوناتچي در انگشتان
بخش اول
الف) خرگوش هاي فيبوناتچي
مسأله اي كه اولين بار فيبوناتچي آن را در سال 1202 مطرح كرد اين بود كه با چه سرعتي خرگوش ها در يك دوره ي ايده آل توليد مثل مي كنند؟
فرش كنيد يك زوج از خرگوش ها شامل يك خزگوش نر و يك ماده نازه به دنيا آمده اند. خرگوش ها مي توانند در يك ماهگي جفت شوند به طوري كه در انتهاي ماه دوم مي توانند يك جفت ديگر از خرگوش ها را به وجود آورند. فرض كنيد خرگوش ها هرگز نمي ميرند و نيز خرگوش ماده هميشه يك جفت خرگوش شامل يك نر و يك ماده در هر ماه ( از ماه دوم به بعد ) به دنيا مي آور.
معماي فيبوناتچي اين بود كه در يك سال چند جفت خرگوش به وجود مي آيد؟
1. در انتهاي ماه اول دو خرگوش جفت شده اما هنوز يك جفت خرگوش وجود دارد.
2. در انتهاي ماه دوم يك جفت خرگوش جديد توليد مي شود بنابراين دو جفت خرگوش وجود دارد.
3. در انتهاي سومين ماه خرگوش ماده ي اول زوج ديگري را به دنيا مي آورد پس سه جفت خرگوش وجود دارد.
4. در انتهاي ماه چهارم خرگوش ماده ي اول يك جفت ديگر و خرگوش ماده ي دوم كه در ماه دوم به دنيا آمده بوداولين جفت خرگوش را به دنيا مي آورد لذا پنج جفت خرگوش وجود خواهد داشت.
بنابراين الگوي عددي زير براي تعداد جفت ها ي به وجود آمده را داريم:
... ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1
اگر تعداد جفت خرگوش ها بعد از n ماه باشد آنگاه داريم:
نمودار درختي خانواده ي خرگوش ها به صورت زير است:
در اين مسأله بايد توجه داشت كه خرگوش هاي خواهر و برادر مي توانند جفت شوند. به عبارت ديگر هر خرگوش ماده از هر جفت مي تواند با هر خرگوش نر جفت شود و يك جفت جديد را توليد كنند. ديگر آن كه در هر تولد دقيقا دو خرگوش نر و ماده به دنيا مي آيد.
ب) زنبور هاي عسل و نمودار درختي
بيش از 3000 گونه زنبور وجود دارد و بيشتر آن ها به تنهايي زندگي مي كنند. يكي از مهم ترين نكاتي كه درباره ي زنبور هاي عسل مي دانيم اين است كه گروهي و در كندو زندگي مي كنند و نمودار درختي آن ها غير معمولي دارند. در حقيقت گونه هايي از زنبورهاي عسل وجود دارد و در اين قسمت رابطه ي اعداد فيبوناتچي را با اجداد يك زنبور عسل نشان مي دهيم. يك حقيقت در مورد زنبور هاي عسل اين است كه همه ي آن ها دو والد ندارند.
در يك كندو يك زنبور ماده خاص يعني ملكه وجود دارد.
تعداد زيادي زنبور كارگر ماده نيز وجود دارند اما شبيه ملكه نيستند. آن ها تخم گذاري نمي كنند.
تعدادي زنبور نر وجود دارد كه هيچ كاري انجام نمي دهند.
همه ي زنبور هاي ماده از جفت شدن ملكه با يك زنبور نر به وجود مي آيند و بنابراين دو والد دارند. زنبور هاي ماده در انتها زنبور كارگر مي شوند اما بعضي از آن ها با ماده خاصي تغذيه شده و تبديل به ملكه مي شوند تا وقتي زنبور ها تشكيل يك گروه بزرگ مي دهند و كندوي خود را به منظور جستجوي مكاني براي ساختن لانه ي جديد ترك مي كنند يك مستعمره ي جديد ايجاد كند.
بنابراين زنبور هاي ماده ( ملكه ) دو والد يكي نر و يكي ماده دارند در حالي كه زنبور هاي نر دقيقا يك والد يعني زنبور ماده دارند.
در زير نمودار درختي مربوطه نشان داده شده است.. در اين نمودار والدين در قسمت بالاي فرزندان قرار دارند. بنابراين هرچه در نمودار بالاتر برويم زنبور ها قديمي تر هستند.
ج) اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي
اگر دو عدد متوالي در دنباله ي فيبوناتچي را بر هم تقسيم كنيم اعداد زير را به دست مي آوريم:
اگر اعداد به دست آمده را روي دستگاه رسم كنيم به شكل زير خواهد بود:
به نظر مي رسد نسبت ها به مقدار مشخصي مي رسند كه آن را نسبت طلايي يا عدد طلايي مي گوييم. نقدار تقريبي آن 1.618034 است. نسبت يا عدد طلايي را جزء طلايي يا ميانگين طلايي نيز ناميده شده و با نماد نشان داده مي شود. قسمت اعشاري آن يعني.618034 0 را با p نشان مي دهيم.
د) مستطيل هاي فيبوناتچي و مارپيچ ها
تصوير ديگري براي نشان دادن اعداد فيبوناتچي مي توان ساخت. اگر دو مربع كوچك با طول ضلع 1 را در كنار هم قرار دهيم و روي هر دوي آن ها مربعي يه طول ضلع 2 رسم كنيم. سپس مي توانيم مربع جديدي كه طول ضلع آن 3 است را طوري رسم كنيم كه يكي از اضلاع آن مماس بر يك ضلع مربع با طول ضلع 2 و يكي از اضلاع دو مربع اوليه باشد. با ادامه ي اين روند مربعات جديدي ايجاد مي شود كه هر مربع جديد ضلعي دارد كه طول آن مجموع طول اضلاع دو مربع آخر است. در شكل مستطيل هايي ايجاد مي شود كه طول اضلاع آن ها اعداد متوالي فيبوناتچي هستند. اين مستطيل ها را مستطيل هاي فيبوناتچي مي ناميم.
در شكل زير يك مارپيچ با زسم يك ربع از دايره در مستطيل كشيده شده است. اگرچه اين مارپيچ يك مارپيچ رياضي صحيحي نيست اما تقريب مناسبي براي نوعي از مارپيچ است كه اغلب در طبيعت ظاهر مي شود. چنين مارپيچ هاي به شكل پوسته هاي حلزون هستند و بعدا خواهيم ديد كه در ترتيب دانه هاي روي گياهان گلدار نيز ظاهر مي شوند.
بخش دوم
ه) اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي در گياهان
يك گياه مخصوصا در تعداد نقاط رشد اعداد فيبوناتچي را نشان مي دهد. فرض كنيد وقتي يك گياه جوانه مي زند آن جوانه بايد قبل از شاخه دار شدن در دو ماه رشد كند. اگر گياه هر ماه بعد از شروع رشد داراي شاخه شود شكل زير را داريم:
در اكثر گياهان تعداد گلبرگ ها اعداد فيبوناتچي هستند.
گل هاي لي لي و آيريس 3 گلبرگ دارند. اغلب لي لي ها 6 گلبرگ دارند كه دو مجموعه ي 3 تايي را تشكيل مي دهند. رز وحشي و گل صورتي 5 گلبرگ دارند.
دلفينيوم ها 8 گلبرگ دارند. سينراريا 13 گلبرگ و نوعي سوسن 21 گلبرگ دارند.
اعدادفيبوناتچي را نيز مي توان در ترتيب تخم هاي روي سرهاي گل مشاهده كرد مانند تصوير هاي زير.
شما مي توانيد گلبرگ هاي نارنجي رنگ را به شكل مارپيچ هم از راست و هم از چپ ببينيد. در گوشه اي از تصوير اگر مارپيچ هاي سمت راست را بشماريد 55 نارپچ وجود دارد. اگر كمي به طرف مركز حركت كنيد مي توانيد 34 مارپيچ را بشمريد. اين اعداد دو عدد متوالي در دنباله ي فيبوناتچي هستند.
در تصوير زير يك گل آفتاب گردان با 89 و 55 مارپيچ مشاهده مي شود.
ميوه هاي كاج نيز به وضوح مارپيچ فيبوناتچي را نشان مي دهند. در زير تصويري از يك ميوه ي كاج معمولي را از قسمتي كه به درخت متصل است مشاهده مي كنيد.
همچنين در بسياري از گياهان اعداد فيبوناتچي در ترتيب برگ ها دخالت دارد. اگر به يك گياه توجه كنم غالبا برگ ها طوري قرار گرفته اند كه برگ هاي زير خود را نمي پوشانند. اعداد فيبوناتچي به اين صورت ظاهر مي شوند كه:
در حالي كه تعداد برگ ها در يك دور را مي شمريد تعداد رفعاتي كه دور ساقه ها چرخيده و نيز از يك برگ به برگ ديگر مي رويد را بشمريد. اگر اين عمل را در جهت حركت عقربه هاي ساعت يا در خلاف آن انجام دهيد سه عدد فيبوناتچي متوالي را به دست مي آوريد.
به عنوان مثال در گياه زير 3 دور حركت در جهت عقربه هاي ساعت براي شمردن 5 برگ لازم است و 2 دور حركت در جهت خلاف عقربه هاي ساعت كه اعداد 2 ، 3 و 5 از اعداد فيبوناتچي به دست مي آيند. مي نويسيم 5/3 گردش ساعت وار يا 5/2 گردش در خلاف حركت عقربه هاي ساعت.
در زير تصويري از يك گل كلم معمولي و يك گياه را مشاهده مي كنيد. گل كلم تقريبا شبيه به يك پنج ضلعي است. اگر دقت كنيد يك نقطه ي مركزي در آن مي بينيد و خواهيد ديد كه گل ها در مارپيچ هاي حول اين مركز در دو جهت قرار گرفته اند.
اعداد فيبوناتچي در انگشتان
به دست خود دقت كنيد. شما دو دست دارريد كه هر كدام 5 انگشت و هر انگشت 3 قسمت جدا شده توسط دو بند دارد. آيا اين يك انطباق نيست؟
اما اگر طول انگشت هايتان را اندازه بگيريد آنگاه نسبت بلندترين انگشت به انگشت وسط همان نسبت طلايي است.
به نظر شما نسبت طول انگشت وسط به طول كوچك ترين انگشت چيست؟
در نهايت توجه داشته باشيد كه اگر چه اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي در بسياري ازموقعيت هاي طبيعي ظاهر مي شوند اما تنها اين اعداد نيستند. H S M Coxeter در مقدمه اي بر هندسه (1961, Wiley, page 172) به موارد زير اشاره مي كند:
بايد پذيرفت كه در بعضي از گياهان اعداد به دست آمده متعلق به دنباله ي فيبوناتچي نيستند اما اعداد دنباله ي لوكاس يا دنباله هاي
... ، 16 ، 9 ، 7 ، 2، 5 يا ... ، 9 ، 5 ، 4 ، 1 ، 3
هستند. دنباله ي لوكاس دنباله اي است كه مشابه دنباله ي فيبوناتچي است با اين تفاوت كه دنباله ي فيبوناتچي با 0 و 1 شروع مي شود ولي دنباله ي ل
وكاس با 2 و 1 شروع مي شود. يعني دنباله اي به صورت ... ، 7 ، 4 ، 3 ، 1 ، 2
