مفاد اين برهان آن است كه اگر سلسله اى را بى نهايت فرض كنيم، و تعداد محدودى از حلقه هاى آن را حذف كنيم، اين سؤال پيش مى آيد كه آيا سلسله مفروض قبل از حذف برخى حلقه هاى آن، با سلسله اى كه بعد از حذف به وجود آمده، برابرند يا نه. اگر پاسخ مثبت باشد برابرى كل و جزء پيش مى آيد كه محال است (سلسله بعدى جزئى از سلسله قبلى است، زيرا با حذف برخى حلقه هاى آن به وجود آمده است، اما اگر پاسخ منفى باشد در آن صورت بايد گفت سلسله اول كه بى نهايت فرض شده بود، محدود و متناهى است، زيرا سلسله اى كه تنها يك يا چند عضو اضافه بر يك مجموعه متناهى (مجموعه دوم) دارد خود نيز بايد متناهى باشد. اين برهان به اعتقاد برخى از انديشمندان مهم ترين برهان امتناع تسلسل است، و براهين ديگر هم در اصل به آن بازمى گردد.(58) نقضى كه بر اين برهان خاطر نشان شده، اين است كه مجموعه اعداد به گونه اى است كه هر مقدار هم از آنان حذف كنيم، هم چنان نامتناهى است. برخى در پاسخ گفته اند : بحث در حلقه هاى يك سلسله علّى و معلولى است، نه سلسله رياضى مانند مجموعه اعداد. اما اين پاسخ با اين مشكل روبه روست كه برهان، عام است و بايد هر گونه سلسله اى را دربر گيرد; اتفاقاً مورد اصلى آن همان سلسله هاى عددى است. (يعنى اين برهان مبتنى بر مقايسه تعداد اعضاى دو مجموعه است، خواه اعضاى آنها علت و معلول باشند يا غير آن) حق اين است كه برهان تطبيق ناتمام است و در مجموعه هاى بى نهايت، كاستن مقدارى محدود از آن مستلزم متناهى و محدود شدن آن نيست. از طرفى در دو مجموعه بى نهايت لازم نيست حلقه ها و اعضاى آنها برابر باشند و اصولا مفهوم برابرى و تساوى در مجموعه هاى محدود كاربرد دارد.
لطفا منتظر باشید ...
